Calcule a integral integral duplaB(x^2+y^2) d x d y onde B é o círculo x^2+ y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaB(x^2+y^2),dx,dy, onde B é o disco definido por x^2+y^2<=4. O assunto aqui é integração em duas variáveis usando coordenadas polares; vamos precisar da troca x=rcostheta, y=rsintheta e do fator de Jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares. Em polares temos
x^2+y^2=r^2,
e o elemento de área
dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 3

Definimos os limites de integração: o raio r vai de 0 até 2 e o ângulo theta de 0 até 2pi. Assim a integral fica
integraltheta=0^2piintegralr=0^2r^2cdot r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^2r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integral0^2r^3,dr=r^44|0^2=2^44=4

Passo 5

Agora a integral externa em theta:
integral0^2pi4,dtheta=4times(2pi)=8pi

Resposta

8pi

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