Calcule o volume do conjunto
(x, y, z) in R mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= x+y

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto S = {(x,y,z)∈ℝ^3 ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤x+y}. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integral tripla, onde o volume de uma região S é dado por ∭_S 1 dV.

Passo 2

Para montar a integral, note que para cada (x,y) em [0,1]×[0,1], z varia de 0 até x+y. Assim temos a integral tripla em ordem z, y, x:
V = integralx=0^1 integraly=0^1 integralz=0^x+y 1 ,dz,dy,dx

Passo 3

Começamos integrando em z. Como a função integranda é 1, obtemos o comprimento do intervalo em z:
integralz=0^x+y 1 ,dz = x + y
Portanto a integral reduz-se a
integral0^1 integral0^1 (x+y) ,dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y. Podemos separar a soma:
integral0^1 (x+y) ,dy = integral0^1 x ,dy + integral0^1 y ,dy = xcdot1 + 1^22 = x + tfrac12
Ficamos com
integral0^1 l(x + tfrac12r) ,dx

Passo 5

Por fim integramos em x:
integral0^1 l(x + tfrac12r) ,dx = integral0^1 x ,dx + integral0^1 tfrac12 ,dx = 1^22 + 12cdot1 = tfrac12 + tfrac12 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados