Calcule o volume do conjunto
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto S = {(x,y,z)∈ℝ^3 ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤x+y}. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por integral tripla, onde o volume de uma região S é dado por ∭_S 1 dV.
Passo 2
Para montar a integral, note que para cada (x,y) em [0,1]×[0,1], z varia de 0 até x+y. Assim temos a integral tripla em ordem z, y, x:
Passo 3
Começamos integrando em z. Como a função integranda é 1, obtemos o comprimento do intervalo em z:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 4
Agora integramos em y. Podemos separar a soma:
Ficamos com
Passo 5
Por fim integramos em x:
Resposta
1