Questão 4. Resolva as EDO (2 x+3 y-1)+(4 x+6 y-5) d yd x=0( Resp. 3 x+6 y-14+9 ln |2 x+3 y-7|=C)

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem
(2x+3y-1)+(4x+6y-5)dydx=0
O conteúdo aplicável é método de substituição para agrupar expressões lineares e depois separação de variáveis, já que não é uma equação exata ( partial M/partial y=3neq4=partial N/partial x).

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
com M=2x+3y-1 e N=4x+6y-5. Para agrupar as combinações lineares, definimos a nova variável
z=2x+3y,
o que implica
dz=2,dx+3,dy

Passo 3

Isolamos dx e substituímos em M,dx+N,dy=0. Como dx=(dz-3,dy)/2, multiplicando tudo por 2 e simplificando obtemos
(z-1),dz+(z-7),dy=0

Passo 4

Essa equação em y e z é separável. Reescrevendo,
(z-7),dy=-(z-1),dz
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dydz=-z-1z-7
Integramos ambos os lados:
integral dy=-integralz-1z-7,dz
Fazendo divisão polinomial z-1z-7=1+6z-7 e integrando,
y=-integrall(1+6z-7r)dz=-z-6ln|z-7|+C

Passo 5

Voltando à variável original z=2x+3y, temos
y=-(2x+3y)-6ln|2x+3y-7|+C
Reorganizando termos de x e y obtemos a forma implícita
2x+4y+6ln|2x+3y-7|=C1
Multiplicando por 3/2 e redefinindo a constante chegamos à forma dada:
3x+6y-14+9ln|2x+3y-7|=C

Resposta

3x+6y-14+9ln|2x+3y-7|=C

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