Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e B o triângulo de vértices (0,0),(0, pi2) e (pi2, pi2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaB f(x,y),dx,dy com f(x,y)=(cos2y)raiz4-sin^2x e B o triângulo de vértices (0,0), (0,pi/2) e (pi/2,pi/2). O conteúdo envolve mudança de ordem de integração para tratar limites dependentes e depois uma substituição simples em integral de função raiz.

Passo 2

Primeiro, descrevemos o domínio B. Como a hipotenusa vai de (0,0) a (pi/2,pi/2), podemos escrever
0<= y<= pi2, 0<= x<= y
Logo a integral vale
integraly=0^pi/2integralx=0^y(cos2y)raiz4-sin^2x,dx,dy

Passo 3

Para simplificar, trocamos a ordem de integração. Em termos de x e y, fica
0<= x<= pi2, x<= y<= pi2
Assim
integral duplaBf = integralx=0^pi/2integraly=x^pi/2(cos2y)raiz4-sin^2x,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integraly=x^pi/2cos2y,dy = [tfrac12sin2y]y=x^y=pi/2 = tfrac12(sinpi - sin2x) = -tfrac12sin2x

Passo 5

Substituindo, a integral vira
integral0^pi/2l(-tfrac12sin2xr)raiz4-sin^2x,dx = -integral0^pi/2sin xcos xraiz4-sin^2x,dx,
pois sin2x=2sin xcos x e o -tfrac12times2 -1.

Passo 6

Agora fazemos a substituição clássica em integrais com raiz: seja u=4-sin^2x. Então
du = -2sin xcos x,dx Longrightarrow -sin xcos x,dx = tfrac12,du
Quando x=0, u=4; quando x=pi/2, u=4-1=3.

Passo 7

A integral em u fica
integralu=4^3raizu12,du = tfrac12integral4^3u^1/2,du = tfrac12cdottfrac23l[u^3/2r]4^3 = tfrac13l(3^3/2-4^3/2r)

Resposta

3raiz3 -83

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