Determine a área da região limitada pelas curvas
,
. Desenhe a região e apresente o raciocínio de forma organizada.
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas $ x^{2} + y = 1 $ e $ y + x = 1 $. Isso envolve um pouco de geometria analítica e integração. Vamos precisar identificar onde essas curvas se interceptam, entender como elas se comportam no gráfico e, por fim, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo $ y $ da segunda equação na primeira:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 1 $. Agora, vamos achar os valores de $ y $ correspondentes:
- Se $ x = 0 $, então $ y = 1 - 0 = 1 $.
- Se $ x = 1 $, então $ y = 1 - 1 = 0 $.
Portanto, os pontos de interseção são $ (0, 1) $ e $ (1, 0) $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar essas curvas. A equação $ x^{2} + y = 1 $ é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto $ (0,1) $. Já a equação $ y + x = 1 $ é uma reta que desce de $ (0,1) $ a $ (1,0) $.
Desenhando essas curvas no mesmo gráfico, vemos que a região limitada por elas é uma espécie de “lente” entre a parábola e a reta, entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, usamos a integração definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que formam a “teto” e o “chão” da região, de $ x = a $ até $ x = b $, onde $ a $ e $ b $ são os limites de integração (nossos pontos de interseção, que são 0 e 1).
Aqui, precisamos identificar qual função está em cima e qual está embaixo entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Observando as equações:
- Da parábola: $ y = 1 - x^{2} $
- Da reta: $ y = 1 - x $
Comparando $ 1 - x^{2} $ e $ 1 - x $ no intervalo de 0 a 1:
Para $ 0 \leq x \leq 1 $, $ x^{2} \leq x $, então $ 1 - x^{2} \geq 1 - x $. Assim, a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 5
Então, a fórmula para a área $ A $ é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliando nos limites:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas $ x^{2} + y = 1 $ e $ y + x = 1 $ é $ \frac{1}{6} $ unidades de área.