Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
integralC x^2 d x+x y d y, C o segmento retilíneo que inicia em (1,0) e termina em (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de um caminho específico. Aqui, a integral é dada por:
integralC x^2 dx + x y dy
O caminho $ C $ é um segmento de reta que vai do ponto $ (1, 0) $ até o ponto $ (2, 3) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para campos escalares. Precisamos parametrizar o caminho $ C $ e depois integrar as funções dadas ao longo desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta $ C $. Quando temos um segmento de reta de $ (x_0, y_0) $ a $ (x_1, y_1) $, podemos expressar $ x $ e $ y $ em termos de um parâmetro $ t $, que varia de 0 a 1.
Então, vamos definir:
C
(x0, y0)
Aqui, $ t $ varia de 0 a 1. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
(x1, y1)
x

Passo 3

Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ na integral original. A integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de $ t $:
x(t)
Substituindo os valores:
y(t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, expandimos $ (1 + t)^2 $:
(1 + t)^2
Agora, multiplicamos $ (1 + t)(3t) $:
(1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2
Então, a integral fica:
(1 + t)(3t)
Simplificando ainda mais:
(1 + t)(3t) = 3t + 3t^2
integral0^1 [1 + 2t + t^2 + 3 cdot (3t + 3t^2)] dt

Passo 5

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral0^1 1 , dt = [t]0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 11t , dt = [112 t^2]0^1 = 112 (1)^2 - 0 = 112
integral0^1 10t^2 , dt = [103 t^3]0^1 = 103 (1)^3 - 0 = 103

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:
1 + 112 + 103
Para somar frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 6:
1 = 66
112 = 336
103 = 206
Então:
66 + 336 + 206 = 596

Resposta

O valor da integral de linha é $ \frac{59}{6} $.

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