Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
o segmento retilíneo que inicia em
e termina em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de um caminho específico. Aqui, a integral é dada por:
O caminho $ C $ é um segmento de reta que vai do ponto $ (1, 0) $ até o ponto $ (2, 3) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para campos escalares. Precisamos parametrizar o caminho $ C $ e depois integrar as funções dadas ao longo desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta $ C $. Quando temos um segmento de reta de $ (x_0, y_0) $ a $ (x_1, y_1) $, podemos expressar $ x $ e $ y $ em termos de um parâmetro $ t $, que varia de 0 a 1.
Então, vamos definir:
Aqui, $ t $ varia de 0 a 1. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ na integral original. A integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de $ t $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, expandimos $ (1 + t)^2 $:
Agora, multiplicamos $ (1 + t)(3t) $:
Então, a integral fica:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Para somar frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 6:
Então:
Resposta
O valor da integral de linha é $ \frac{59}{6} $.