Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
, onde
e
é o arco da parábola
, compreendido entre
e
, percorrido do ponto de maior para o de menor abscissa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
. O caminho
é o arco da parábola
, indo de
até
, mas na direção oposta, ou seja, de
para
. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é a parábola
, podemos usar
como parâmetro. Então, nossa parametrização fica:
Aqui,
varia de
a
porque estamos indo de
para
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Calculando:
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função
. Temos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, nossa integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de
:
Como estamos indo de
para
, podemos trocar os limites e trocar o sinal:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de
a
:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha
é igual a zero.