Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x y i-y^2 j e C é o arco da parábola y=x^2, compreendido entre (-1,1) e (1,1), percorrido do ponto de maior para o de menor abscissa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralC F cdot d r, onde F(x, y) = x y i - y^2 j. O caminho C é o arco da parábola y = x^2, indo de (-1,1) até (1,1), mas na direção oposta, ou seja, de x=1 para x=-1. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é a parábola y = x^2, podemos usar x como parâmetro. Então, nossa parametrização fica:
r(x) = x i + x^2 j
Aqui, x varia de 1 a -1 porque estamos indo de x=1 para x=-1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(x) em relação a x, que é dr. Calculando:
dr = drdx dx = i + 2x j , dx

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função F. Temos:
F(r(x)) = x cdot y i - y^2 j = x cdot x^2 i - (x^2)^2 j = x^3 i - x^4 j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (x^3 i - x^4 j) cdot (i + 2x j) = x^3 cdot 1 + (-x^4) cdot 2x = x^3 - 2x^5

Passo 6

Agora, nossa integral de linha se transforma em uma integral definida em termos de x:
integralC F cdot dr = integral1^-1 (x^3 - 2x^5) dx
Como estamos indo de 1 para -1, podemos trocar os limites e trocar o sinal:
= -integral-1^1 (x^3 - 2x^5) dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral (x^3 - 2x^5) dx = 14x^4 - 26x^6 = 14x^4 - 13x^6

Passo 8

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de -1 a 1:
[ 14x^4 - 13x^6 ]-1^1 = ( 14(1) - 13(1) ) - ( 14(-1)^4 - 13(-1)^6 )
Simplificando:
= ( 14 - 13 ) - ( 14 - 13 ) = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r é igual a zero.

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