Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=raiz1+y^3 e B=(x, y) in R^2 mid raizx <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaB raiz1+y^3,dx,dy, onde o domínio B é dado por (x,y)in R^2mid raiz x<= y<=1. O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas cartesianas e uso de substituição em integrais.

Passo 2

Para descrever o domínio B, note que raiz x<= y implica x>=0 e x<= y^2. Além disso y varia de 0 até 1. Logo podemos integrar primeiro em x de 0 até y^2 e depois em y de 0 até 1. A integral iterada fica
integral duplaBraiz1+y^3,dx,dy =integraly=0^1gl(integralx=0^y^2raiz1+y^3,dxgr)dy
Como raiz1+y^3 independe de x, a integral interna é
integral0^y^2raiz1+y^3,dx = xraiz1+y^3l|0^y^2 = y^2raiz1+y^3
Portanto a integral fica
integral0^1y^2raiz1+y^3,dy
Para resolver essa integral, use a substituição u=1+y^3, de onde du=3y^2,dy e y^2,dy=du/3. Quando y=0, u=1; quando y=1, u=2. A integral em u é
integraly=0^1y^2raiz1+y^3,dy = 13integralu=1^2u^1/2,du = 13cdotu^3/23/2g|1^2 = 29l(2^3/2-1r)

Resposta

29l(2raiz2 -1r).

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