Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
y^prime(t)=t^2+1y^2+1;

Passo 1

Temos a equação diferencial y'(t)=t^2+1y^2+1. O conteúdo da matéria é separação de variáveis, e vamos precisar integrar polinômios simples.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos dydt=t^2+1y^2+1 e multiplicamos ambos os lados por (y^2+1),dt, obtendo
(y^2+1),dy = (t^2+1),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral (y^2+1),dy = integral (t^2+1),dt

Passo 4

No lado esquerdo integral y^2,dy=tfracy^33 e integral1,dy=y. No direito integral t^2,dt=tfract^33 e integral1,dt=t. Assim
y^33+y = t^33+t + C

Passo 5

Multiplicando por 3 ou apenas chamando C1=3C, obtemos a forma mais compacta da solução geral implícita:
y^3+3y = t^3+3t + C1

Resposta

A solução geral implícita é
y^33+y = t^33+t + C

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