Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
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Passo 1
Estamos vendo uma equação diferencial: $ y^{\prime}(x) = x y(x) $. A matéria aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a técnica de separação de variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar cada parte direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os com $ x $ fiquem do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por $ y(x) $ e multiplicamos por $ dx $:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral de $ \frac{1}{y} , dy $ é $ \ln|y| $ e a integral de $ x , dx $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 4
Para encontrar $ y $, vamos se livrar do logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados da equação:
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante, podemos substituir por $ K $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y(x) = K e{\frac{x2}{2}} $, onde $ K $ é uma constante qualquer.