Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando a técnica da separação de variáveis. O enunciado que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, que é um tipo de problema onde a gente quer achar uma função desconhecida a partir de sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ de modo a conseguir integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a manipulação. A equação é:
Vamos dividir os dois lados por $ e^{-y} $ para isolar $ 1 + y’ $:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar para isolar $ y’ $, que é a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Isso nos dá uma forma mais clara de ver como $ y $ muda em relação a $ x $.
Passo 4
A próxima etapa é separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, colocamos todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
Rearranjando, temos:
Passo 5
Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral fica:
A integral no lado direito é simples, resultando em $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
A integral no lado esquerdo pode ser resolvida fazendo uma substituição. Vamos deixar $ u = e^{y} $, então $ du = e^{y} dy $. A integral fica:
Isso pode ser decomposto em frações parciais:
Voltando para $ y $, fica:
Passo 7
Por fim, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Essa é a forma implícita da solução. Dependendo do contexto, pode ser necessário resolver para $ y $ explicitamente, mas muitas vezes essa forma já é suficiente.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.