Calcule integral duplaB(x-y) d x d y, onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla integral duplaB(x-y),dx,dy sobre o semicírculo unitário B=(x,y)mid x^2+y^2<=1,;x>=0. O conteúdo é integração dupla em regiões planas, usando simetria e, se necessário, coordenadas polares.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas: I1=integral duplaB x,dA, I2=integral duplaB y,dA, de modo que integral duplaB(x-y)dA = I1 - I2.

Passo 3

Para calcular I2=integral duplaB y,dA, note que a região é simétrica em relação ao eixo x e ymapsto -y troca pontos de forma bijetora. Como y é função ímpar em relação a esse eixo, temos I2=0.

Passo 4

Para calcular I1=integral duplaB x,dA, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta e 0<= r<=1,,-tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Assim:
I1=integral-pi/2^pi/2integral0^1(rcostheta),r,dr,dtheta=integral-pi/2^pi/2costheta,dthetaintegral0^1r^2,dr=l[sinthetar]-pi/2^pi/2cdot13=2cdot13=23

Passo 5

Juntando os resultados, integral duplaB(x-y)dA=I1-I2=tfrac23-0=tfrac23

Resposta

tfrac23

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