Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
sobre o semicírculo unitário
. O conteúdo é integração dupla em regiões planas, usando simetria e, se necessário, coordenadas polares.
Passo 2
Vamos separar a integral em duas:
de modo que
.
Passo 3
Para calcular
, note que a região é simétrica em relação ao eixo
e
troca pontos de forma bijetora. Como
é função ímpar em relação a esse eixo, temos
.
Passo 4
Para calcular
, usamos coordenadas polares:
,
,
e
. Assim:
Passo 5
Juntando os resultados,