Calcule:
(b) integralgamma F cdot d r, onde F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j e gamma:[a, b] R^2 backslash(0,0) é uma curva de classe mathscrC ^1 por partes e fechada, isto é, gamma(a)=gamma(b).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgammavec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y)=l(tfracxx^2+y^2,tfracyx^2+y^2r)
e gamma é uma curva fechada em
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar verificar se R^2setminus(0,0) é conservativo para usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
nablaphi(x,y)=l(partialphipartial x,partialphipartial yr)=vec F(x,y)
Observamos que se tomarmos
então calculamos
$$\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac12\cdot\frac{2x}{x2+y2}=\frac{x}{x2+y2},\quad
\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{y}{x2+y2},$$
que coincide com nphi(x,y)=tfrac12lnl(x^2+y^2r),.

Passo 3

A função
phi(x,y)=tfrac12ln(x^2+y^2)
é bem-definida e de classe em
, de modo que o campo C^1 é conservativo nesse domínio.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para uma curva fechada gamma em um domínio onde o campo é conservativo vale
$$\n\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\phi\bigl(\gamma(b)\bigr)-\phi\bigl(\gamma(a)\bigr).
$$
Como nintegralgammavec Fcdot dvec r=phil(gamma(b)r)-phil(gamma(a)r) , a diferença é zero.

Resposta

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