Calcule:
(b)
, onde
e
é uma curva de classe
por partes e fechada, isto é,
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e é uma curva fechada em
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar verificar se é conservativo para usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
onde
e
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar verificar se
Passo 2
Para ver se
é conservativo, buscamos uma função potencial
tal que
Observamos que se tomarmos
então calculamos
$$\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac12\cdot\frac{2x}{x2+y2}=\frac{x}{x2+y2},\quad
\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{y}{x2+y2},$$
que coincide com .
que coincide com
Passo 3
A função
é bem-definida e de classe em
, de modo que o campo é conservativo nesse domínio.
é bem-definida e de classe em
, de modo que o campo
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, para uma curva fechada
em um domínio onde o campo é conservativo vale
$$\n\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\phi\bigl(\gamma(b)\bigr)-\phi\bigl(\gamma(a)\bigr).
$$
Como , a diferença é zero.
Como
Resposta
0