Seja F(x, y, z)=x y i+y z^2 j+x y z k. Calcule rot(F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o rotacional (também conhecido como “curl”) do campo vetorial F(x, y, z) = x y i + y z^2 j + x y z k. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operações com campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o rotacional usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k. O rotacional é dado por:
rot(F) = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Aqui, P, Q e R são as componentes do campo vetorial nas direções i, j e k, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar P, Q e R no nosso caso:
  • P = x y
  • Q = y z^2
  • R = x y z
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária.

Passo 4

Calculando partial Rpartial y:
partial Rpartial y = partial (x y z)partial y = x z
Calculando partial Qpartial z:
partial Qpartial z = partial (y z^2)partial z = 2 y z
Então, a primeira componente do rotacional é:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = x z - 2 y z = z (x - 2 y)

Passo 5

Agora, calculamos partial Ppartial z e partial Rpartial x:
partial Ppartial z = partial (x y)partial z = 0
partial Rpartial x = partial (x y z)partial x = y z
Então, a segunda componente do rotacional é:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - y z = - y z

Passo 6

Por último, calculamos partial Qpartial x e partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partial (y z^2)partial x = 0
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
Então, a terceira componente do rotacional é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - x = - x

Resposta

Portanto, o rotacional de F é:
rot(F) = (z(x - 2y)) i - y z j - x k

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