Mude a integral de coordenadas cartesianas para polares e calcule a integral polar.
Passo 1
O exercício pede para trocar a integral em coordenadas cartesianas por coordenadas polares e calcular o valor. O conteúdo é mudança de variável para polares, usando as fórmulas
,
e o fator de escala (Jacobiano)
. Vamos precisar descrever a região de integração no plano
e depois traduzi-la em termos de
.
Passo 2
A região dada por
e
é o semicírculo de raio 1 no semiplano direito. Em coordenadas polares,
vira
e como
deve ser
, temos
.
Passo 3
Substituímos o integrando
pelas expressões polares. Como
e
, a integral fica
Passo 4
Agora a integral separa em produto de uma parte em
e outra em
. Primeiro integramos em
:
Passo 5
Depois integramos em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das duas integrais, obtemos