Mude a integral de coordenadas cartesianas para polares e calcule a integral polar.
integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x d y d x

Passo 1

O exercício pede para trocar a integral em coordenadas cartesianas por coordenadas polares e calcular o valor. O conteúdo é mudança de variável para polares, usando as fórmulas x=rcostheta, y=rsintheta e o fator de escala (Jacobiano) r. Vamos precisar descrever a região de integração no plano (x,y) e depois traduzi-la em termos de (r,theta).

Passo 2

A região dada por 0<= x<=1 e -raiz1-x^2<= y<=raiz1-x^2 é o semicírculo de raio 1 no semiplano direito. Em coordenadas polares, x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1 e como x=rcostheta deve ser x>=0, temos -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.

Passo 3

Substituímos o integrando x,dy,dx pelas expressões polares. Como x=rcostheta e dA=dy,dx=r,dr,dtheta, a integral fica
integral0^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2x,dy,dx =integral-tfracpi2^tfracpi2integral0^1(rcostheta),(r,dr,dtheta) =integral-tfracpi2^tfracpi2integral0^1r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Agora a integral separa em produto de uma parte em r e outra em theta. Primeiro integramos em r:
integral0^1r^2,dr=l[tfracr^33r]0^1=tfrac13

Passo 5

Depois integramos em theta:
integral-tfracpi2^tfracpi2costheta,dtheta=l[sinthetar]-tfracpi2^tfracpi2=1-(-1)=2

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais, obtemos
tfrac13times2=tfrac23

Resposta

tfrac23

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