Calcule
, onde
e
.
11. Utilizando integral dupla, mostre que a área do círculo de raio
é
.
11. Utilizando integral dupla, mostre que a área do círculo de raio
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, calcular
onde
Segundo, usar integral dupla para mostrar que a área de um círculo de raio
é
. Vamos usar coordenadas polares e propriedades de integrais trigonometricamente.
Passo 2
Descrição de
em polares. Em coordenadas
temos
A condição
vira
. As desigualdades
e
implicam
Combinando,
varia de
até
.
Passo 3
Mudança de variável na integral. Tem-se
e o elemento de área
vira
. Logo
Como
, a integral fica
Passo 4
Calcular
usando
:
Avalia-se
Multiplicando por
(do passo anterior) obtemos
Passo 5
Agora mostrar que a área de um círculo de raio
é
. Seja
Em polares
,
, e
. Logo
Resposta
(a)
(b) A área de um círculo de raio é
(b) A área de um círculo de raio