Calcule integral duplaB y^2 d x d y, onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, y >= x e x >= 0.
11. Utilizando integral dupla, mostre que a área do círculo de raio r é pi r^2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, calcular
integral duplaB y^2,dx,dy,
onde
B=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=1,;y>= x,;x>=0
Segundo, usar integral dupla para mostrar que a área de um círculo de raio r é pi r^2. Vamos usar coordenadas polares e propriedades de integrais trigonometricamente.

Passo 2

Descrição de B em polares. Em coordenadas (r,theta) temos
x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0
A condição x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1. As desigualdades x>=0 e y>= x implicam
costheta>=0;Longrightarrow;-tfracpi2<=theta<=tfracpi2, sintheta>=costheta;Longrightarrow;theta>=tfracpi4
Combinando, theta varia de pi/4 até pi/2.

Passo 3

Mudança de variável na integral. Tem-se
y^2=(rsintheta)^2=r^2sin^2theta,
e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Logo
integral duplaBy^2,dx,dy =integraltheta=pi/4^pi/2integralr=0^1(r^2sin^2theta),r,dr,dtheta =integralpi/4^pi/2sin^2thetal(integral0^1r^3drr)dtheta
Como integral0^1r^3dr=tfrac14, a integral fica
14integralpi/4^pi/2sin^2theta,dtheta

Passo 4

Calcular integralpi/4^pi/2sin^2theta,dtheta usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2:
integralpi/4^pi/2sin^2theta,dtheta =12integralpi/4^pi/21,dtheta -12integralpi/4^pi/2cos2theta,dtheta =12l[thetar]pi/4^pi/2 -14l[sin2thetar]pi/4^pi/2
Avalia-se
12l(pi2-pi4r) -14l(sinpi-sintfracpi2r) =12cdotpi4 -14(0-1) =pi8+14
Multiplicando por tfrac14 (do passo anterior) obtemos
integral duplaBy^2,dx,dy =14l(pi8+14r) =pi32+116

Passo 5

Agora mostrar que a área de um círculo de raio r é pi r^2. Seja
D=(x,y)mid x^2+y^2<= r^2
Em polares 0<=rho<= r, 0<=phi<=2pi, e dx,dy=rho,drho,dphi. Logo
Área(D) =integral duplaD1,dx,dy =integralphi=0^2piintegralrho=0^rrho,drho,dphi =integral0^2pil[tfracrho^22r]0^rdphi =integral0^2pir^22,dphi =r^22cdot2pi =pi r^2 Á

Resposta

(a) integral duplaBy^2,dx,dy=pi32+116
(b) A área de um círculo de raio r é pi r^2

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