Determine uma representação parametrizada para os seguintes objetos:
(a) A parte do cilindro x^2+z^2=9 limitada pelos planos y=0 e x+y=6.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica da parte lateral do cilindro x^2+z^2=9 que fica entre os planos y=0 e x+y=6. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies cilíndricas, em que usaremos um ângulo para rodar em torno do eixo y e a própria coordenada y como segundo parâmetro.

Passo 2

Num cilindro de raio 3 em torno do eixo y, é natural usar o parâmetro angular theta para x e z. Assim, fixo theta, temos
x = 3costheta, z = 3sintheta
Dessa forma um ponto genérico na superfície é
r(theta,y) = l(3costheta,;y,;3sinthetar)

Passo 3

Agora determinamos os limites de theta e de y. Como queremos toda a volta do cilindro, theta varia de 0 a 2pi. O plano y=0 impõe y>=0. O plano x+y=6
y = 6 - x = 6 - 3costheta,
logo y deve satisfazer
0 ;<=; y ;<=; 6 - 3costheta

Passo 4

Reunindo tudo, a parametrização da parte solicitada é
r(theta,y) = l(3costheta,;y,;3sinthetar), 0<=theta<=2pi, 0<= y<=6-3costheta

Resposta

boxed r(theta,y) = l(3costheta,;y,;3sinthetar), 0<=theta<=2pi, 0<= y<=6-3costheta

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