Utilizando integral dupla, calcule o volume do conjunto (x, y, z) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1, x+y <= z <= x+y+2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
(x,y,z)mid 1<= x<=2,;0<= y<=1,;x+y<= z<= x+y+2.
O conteúdo aqui é usar integral tripla (ou dupla iterada com integração em z) e o Teorema de Fubini para calcular volume em R^3.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V ;=;integral triplaD1,dV ;=;integralx=1^2!integraly=0^1!integralz=x+y^,x+y+21,dz,dy,dx

Passo 3

Fazendo primeiro a integral em z:
integralz=x+y^,x+y+21,dz =l[zr]x+y^,x+y+2 =(x+y+2)-(x+y)=2
Então
V=integral1^2!integral0^12,dy,dx

Passo 4

Como 2 é constante, temos
V=2integral1^2!integral0^1dy,dx =2,(2-1),(1-0) =2

Resposta

2

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