Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty (-3)^n+12^3 n

Passo 1

Enunciado: a gente quer saber se a série sumn=1^infty (-3)^n+12^3n converge ou diverge e, em caso positivo, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica e vamos usar o critério |r|<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o termo geral de um jeito que fique clara a razão r. Note que 2^3n=8^n e (-3)^n+1=(-3),(-3)^n. Então
(-3)^n+12^3n = (-3)(-3)^n8^n = (-3)l(-38r)^n

Passo 3

A partir daí identificamos a razão da série geométrica: r= -3/8. Como |r|=3/8<1, a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma usamos a fórmula sumn=1^inftyr^n=r1-r. Assim,
S = sumn=1^infty(-3)^n+12^3n = (-3)sumn=1^inftyl(-38r)^n = (-3)-381--38

Passo 5

Bastar simplificar: o denominador 1-(-3/8)=11/8, logo
[S = (-3)\frac{-3/8}{11/8} = (-3)\Bigl(-\frac{3}{11}\Bigr) = \frac{9}{11}.

Resposta

A série converge e sua soma é 9/11.

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