Ache a solução geral de cada uma das equaçöes diferenciais sezuintes.
23 y^prime prime-5 y^prime+2 y=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica. Substituímos 23 r^2 - 5 r + 2 = 0 por , por e por 1, ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, no nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante ( De) da equação:

Passo 5

Como o discriminante r = 5 pm raiz-15946 é negativo ( r = 546 pm raiz15946 i), sabemos que as raízes serão complexas. Continuando com a fórmula de Bhaskara:
Podemos escrever isso de forma mais simples como:

Passo 6

Com as raízes na forma y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ), a solução geral da equação diferencial é:
Onde e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^546 x ( C1 cos( raiz15946 x ) + C2 sin( raiz15946 x ) )

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