Calcule integral duplaB raiz2 x-x^2-y^2 d x d y, onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB raiz2x - x^2 - y^2,dx,dy, onde
A região B é definida por
x^2 + y^2 - x <= 0
Isso cai em mudança para coordenadas polares, porque tanto o integrando quanto a condição de região ficam bem mais simples.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares usando
x = rcostheta, y = rsintheta,
então a condição x^2 + y^2 - x <= 0 vira
r^2 - rcostheta <= 0 Longrightarrow 0 <= r <= costheta,
e isso só faz sentido quando costheta >= 0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. O integrando
raiz2x - x^2 - y^2 = raiz2rcostheta - r^2 = raizrl(2costheta - rr),
e o elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta. Portanto temos
integral duplaB raiz2x - x^2 - y^2,dx,dy = integral-pi/2^pi/2integral0^costheta raizr(2costheta - r);r,dr,dtheta

Passo 3

Agora focamos na integral interna em r:
I(theta) = integral0^costheta r^3/2raiz2costheta - r,dr
Para resolver isso, fazemos a substituição
u = r2costheta, r = 2costheta,u, dr = 2costheta,du
Isso leva a
I(theta) = 8cos^3theta integral0^1/2 u^3/2(1 - u)^1/2,du = 8cos^3theta;J,
com
J = integral0^1/2 u^3/2(1 - u)^1/2,du

Passo 4

Para calcular
J = integral0^1/2 u^3/2(1 - u)^1/2,du
fizemos a troca u = sin^2 t, de t=0 a t=pi/4. O diferencial é du = 2sin tcos t,dt e transformamos tudo em potências de sin t e cos t. Após simplificar por identidades trigonométricas, obtemos
J = pi32 - 124
Logo
I(theta) = 8cos^3theta l(pi32 - 124r) = 3pi - 412,cos^3theta

Passo 5

Falta agora integrar em theta:
integral duplaB raiz2x - x^2 - y^2,dx,dy = integral-pi/2^pi/2 I(theta),dtheta = 3pi - 412 integral-pi/2^pi/2 cos^3theta,dtheta
Como integral-pi/2^pi/2 cos^3theta,dtheta = 2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta = 2cdot23 = 43, obtemos
integral duplaB raiz2x - x^2 - y^2,dx,dy = 3pi - 412 cdot 43 = 3pi - 49

Resposta

3pi - 49

Exercícios relacionados