Calcule
, onde
.
Passo 1
A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
A região
é definida por
Isso cai em mudança para coordenadas polares, porque tanto o integrando quanto a condição de região ficam bem mais simples.
Passo 2
Passamos para coordenadas polares usando
então a condição
vira
e isso só faz sentido quando
, ou seja
. O integrando
e o elemento de área é
. Portanto temos
Passo 3
Agora focamos na integral interna em
:
Para resolver isso, fazemos a substituição
Isso leva a
com
Passo 4
Para calcular
fizemos a troca
, de
a
. O diferencial é
e transformamos tudo em potências de
e
. Após simplificar por identidades trigonométricas, obtemos
Logo
Passo 5
Falta agora integrar em
:
Como
obtemos