Considere as retas r: x-32=4-y=z-13 e s: x-14=5-y2=z-45. É correto afirmar que elas são:
square retas concorrentes square retas paralelas e não coincidentes square retas coincidentes
square retas reversas square nenhuma das anteriores

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas por equações paramétricas. A questão quer saber qual a relação entre essas retas: se elas são concorrentes (se cruzam), paralelas, coincidentes, reversas (skew) ou nenhuma dessas opções. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar a posição relativa de duas retas no espaço utilizando suas equações paramétricas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das retas de forma mais clara. A reta x - 32 = 4 - y = z - 13 é dada por:
x = 3 + 2t y = 4 - t z = 1 + 3t
Podemos reescrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro :

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a reta x - 14 = 5 - y2 = z - 45 :
x = 1 + 4k y = 5 - 2k z = 4 + 5k
Usando um parâmetro :

Passo 4

Para determinar a relação entre as retas 3 + 2t = 1 + 4k (1) 4 - t = 5 - 2k (2) 1 + 3t = 4 + 5k (3) e , vamos verificar se existe um ponto que pertence a ambas as retas. Isso significa que precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Começando pela equação (2):
4 - t = 5 - 2k -t + 2k = 1 (2a)
Da equação (1):
3 + 2t = 1 + 4k 2t - 4k = -2 t - 2k = -1 (1a)
Agora temos um sistema com duas equações:
t - 2k = -1 (1a) -t + 2k = 1 (2a)
Somando as duas equações:
(t - 2k) + (-t + 2k) = -1 + 1 0 = 0
Isso indica que as duas equações são dependentes, ou seja, há infinitas soluções possíveis para e .

Passo 6

Vamos substituir 1 + 3(2k - 1) = 4 + 5k 1 + 6k - 3 = 4 + 5k 6k - 2 = 4 + 5k 6k - 5k = 4 + 2 k = 6 (da equação t = 2(6) - 1 = 12 - 1 = 11 ) na equação (3):
Substituindo em :

Passo 7

Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações. Substituindo x = 1 + 4(6) = 25 y = 5 - 2(6) = -7 z = 4 + 5(6) = 34 na reta x = 3 + 2(11) = 25 y = 4 - 11 = -7 z = 1 + 3(11) = 34 :
E substituindo na reta :
Vemos que ambos os pontos coincidem.

Resposta

As retas e são retas concorrentes, ou seja, elas se intersectam em um único ponto.

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