Seja
contínua em
. Prove que o gráfico da
tem conteúdo nulo.
Passo 1
Temos a função contínua em ,
e queremos mostrar que o seu gráfico \{(x,f(x))\mid x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}^2 tem conteúdo de Jordan nulo. Vamos usar que função contínua em intervalo fechado é uniformemente contínua e, a partir disso, construir um reticulado de retângulos cobrindo o gráfico com área tão pequena quanto quisermos.
Passo 2
Começamos escolhendo um
qualquer. Pela uniformidade da continuação de
em ,
, existe
tal que sempre que
temos
.
Passo 3
Particionamos o intervalo
em subintervalos ,
de comprimento menor que
. Ou seja, escolhemos
com
para todo
.
Passo 4
Em cada subintervalo definimos $$
M_i=\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f,\quad m_i=\inf_{[x_i,x_{i+1}]}f.
$$
M_i=\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f,\quad m_i=\inf_{[x_i,x_{i+1}]}f.
$$
Pela escolha de
, a oscilação
. Então o gráfico sobre ,
cabe no retângulo $[x_i,x_{i+1}]\times [m_i,M_i]$.
Passo 5
Agora somamos as áreas desses retângulos: $$
\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),(M_i-m_i)
< \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),\frac{\varepsilon}{b-a}
= (b-a),\frac{\varepsilon}{b-a}
=\varepsilon.
$$
\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),(M_i-m_i)
< \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),\frac{\varepsilon}{b-a}
= (b-a),\frac{\varepsilon}{b-a}
=\varepsilon.
$$
Como
era arbitrário, concluímos que o gráfico de
pode ser coberto por retângulos de área total arbitrariamente pequena, ou seja, tem conteúdo de Jordan nulo.
Resposta
O gráfico de
tem conteúdo de Jordan zero.