Seja f:[a, b] R contínua em [a, b]. Prove que o gráfico da f tem conteúdo nulo.

Passo 1

Temos a função contínua em , [a,b] e queremos mostrar que o seu gráfico \{(x,f(x))\mid x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}^2 tem conteúdo de Jordan nulo. Vamos usar que função contínua em intervalo fechado é uniformemente contínua e, a partir disso, construir um reticulado de retângulos cobrindo o gráfico com área tão pequena quanto quisermos.

Passo 2

Começamos escolhendo um varepsilon>0 qualquer. Pela uniformidade da continuação de f em , [a,b], existe de0 tal que sempre que |x-y| temos |f(x)-f(y)|.

Passo 3

Particionamos o intervalo [a,b] em subintervalos , [xi,xi+1] de comprimento menor que de. Ou seja, escolhemos a=x0 com xi+1-xi para todo i.

Passo 4

Em cada subintervalo definimos $$
M_i=\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f,\quad m_i=\inf_{[x_i,x_{i+1}]}f.
$$
Pela escolha de Mi=sup[xi,xi+1]f, mi=inf[xi,xi+1]f , a oscilação de. Então o gráfico sobre , Mi-mi cabe no retângulo $[x_i,x_{i+1}]\times [m_i,M_i]$.

Passo 5

Agora somamos as áreas desses retângulos: $$
\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),(M_i-m_i)
< \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i),\frac{\varepsilon}{b-a}
= (b-a),\frac{\varepsilon}{b-a}
=\varepsilon.
$$
Como sumi=0^n-1(xi+1-xi),(Mi-mi) < sumi=0^n-1(xi+1-xi),varepsilonb-a = (b-a),varepsilonb-a =varepsilon era arbitrário, concluímos que o gráfico de varepsilon>0 pode ser coberto por retângulos de área total arbitrariamente pequena, ou seja, tem conteúdo de Jordan nulo.

Resposta

O gráfico de f tem conteúdo de Jordan zero.

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