Calcule
, onde
é o conjunto de todos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a região no plano limitada por duas curvas: a parábola
e o círculo
. Vamos usar coordenadas polares para traduzir essas fronteiras e abrir mão de integrar em
e
diretamente.
Em coordenadas polares definidas por ,
, o integrando fica
e o elemento de área
, de modo que a integral vira
.
Em coordenadas polares definidas por
Passo 2
A curva do círculo
vira
, i.e.
ou
. Como
, dentro do círculo temos
, com
, mas a condição
(já que
só para
) restringe
.
A parábola em polares é
. Reagrupando, para
obtemos o limite radial inferior
A parábola
Passo 3
Porém
somente para
. Para
vale
, então a condição
impõe apenas
. Logo o domínio em polares é
Passo 4
Assim montamos
Passo 5
Fazendo a integral interna em
(pois
), obtemos
Passo 6
A segunda integral em
é elementar e dá
. A primeira envolve
e leva a uma expressão em termos de uma integral menor
. Numérico por Simpson dá
.
Com isso o valor final fica
Com isso o valor final fica