Calcule integral duplaB raizx^2+y^2 d x d y, onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que y >= x-x^2 e x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral duplaB raizx^2+y^2,dx,dy, onde B é a região no plano limitada por duas curvas: a parábola y=x-x^2 e o círculo x^2+y^2=x. Vamos usar coordenadas polares para traduzir essas fronteiras e abrir mão de integrar em x e y diretamente.
Em coordenadas polares definidas por x=rcostheta, y=rsintheta, o integrando fica raizx^2+y^2=r e o elemento de área dx,dy=r,dr,dtheta, de modo que a integral vira integral dupla rcdot r,dr,dtheta=integral dupla r^2,dr,dtheta.

Passo 2

A curva do círculo x^2+y^2=x vira r^2=rcostheta, i.e. r=0 ou r=costheta. Como r>=0, dentro do círculo temos 0<= r<=costheta, com -tfracpi2, mas a condição y>=0 (já que y=x-x^2>=0 só para 0<= x<=1) restringe 0<=theta<=tfracpi2.
A parábola y=x-x^2 em polares é rsintheta=rcostheta-r^2cos^2theta. Reagrupando, para r>0 obtemos o limite radial inferior
r=costheta-sinthetacos^2thetaequiv rrm par(theta),,

Passo 3

Porém rrm par(theta)>0 somente para 0<=theta. Para tfracpi4<=theta<=tfracpi2 vale costheta-sintheta<=0, então a condição y>= x-x^2 impõe apenas r>=0. Logo o domínio em polares é
thetain[0,tfracpi4], rrm par(theta)<= r<=costheta,ethetain[tfracpi4,tfracpi2],0<= r<=costheta

Passo 4

Assim montamos
I=integral0^pi/4integralrrm par(theta)^costhetar^2,dr,dtheta+integralpi/4^pi/2integral0^costhetar^2,dr,dtheta

Passo 5

Fazendo a integral interna em r (pois integral r^2,dr=tfracr^33), obtemos
I=13integral0^pi/4l(cos^3theta -rrm par(theta)^3r)dtheta+13integralpi/4^pi/2cos^3theta,dtheta

Passo 6

A segunda integral em [pi/4,pi/2] é elementar e dá tfrac29-tfrac5raiz236. A primeira envolve rrm par(theta)^3 e leva a uma expressão em termos de uma integral menor J=integral0^pi/4((costheta-sintheta)/cos^2theta)^3dtheta. Numérico por Simpson dá Japprox0.2582.
Com isso o valor final fica
I=23cdot13-J3=29-J3approx0.1362

Resposta

0.1362,(aproximadamente)

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