Qual a massa crítica (Jeans) para que uma nuvem interestelar colapse sob ação de uma perturbação mecânica externa?

Passo 1

Enunciado resumido: queremos achar a massa crítica (M_J) para que uma nuvem interestelar homogênea e isotérmica colapse quando perturbada mecanicamente. O conteúdo envolvido é a instabilidade de Jeans, e vamos precisar das grandezas temperatura (T), densidade média (ρ), massa média por partícula (μ m_H), constante de Boltzmann (k_B) e constante gravitacional (G).

Passo 2

Em um gás isotérmico, a pressão se relaciona com a densidade por P = ρ c_s^2, onde c_s é a velocidade do som dada por
cs^2 = kB,Tmu,mH
Aqui μ é o peso molecular médio e m_H a massa do hidrogênio.

Passo 3

Para pequenas perturbações no meio homogêneo, a análise linear leva à definição do comprimento de Jeans (λ_J), ou seja, o menor comprimento de onda que cresce gravitacionalmente. Esse comprimento é
lambdaJ = raizpi,cs^2G,rho,

Passo 4

A massa de Jeans é a massa contida em um volume esférico de raio λ_J/2. Assim,
MJ = 4pi3,rho,l(lambdaJ2r)^3
Substituindo λ_J, temos
MJ = 4pi3,rho,18(pi,cs^2G,rho)^3/2 = pi^5/26,cs^3G^3/2,rho^1/2,

Passo 5

Finalmente, substituindo c_s em função de T, obtemos a expressão da massa crítica de Jeans:
MJ = pi^5/26,1G^3/2,rho^1/2(kB,Tmu,mH)^3/2

Resposta

M_J = \dfrac{\pi{5/2}}{6},G{-3/2},\rho{-1/2},\bigl(\tfrac{k_B,T}{\mu,m_H}\bigr){3/2}

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