Qual a massa crítica (Jeans) para que uma nuvem interestelar colapse sob ação de uma perturbação mecânica externa?
Passo 1
Enunciado resumido: queremos achar a massa crítica (M_J) para que uma nuvem interestelar homogênea e isotérmica colapse quando perturbada mecanicamente. O conteúdo envolvido é a instabilidade de Jeans, e vamos precisar das grandezas temperatura (T), densidade média (ρ), massa média por partícula (μ m_H), constante de Boltzmann (k_B) e constante gravitacional (G).
Passo 2
Em um gás isotérmico, a pressão se relaciona com a densidade por P = ρ c_s^2, onde c_s é a velocidade do som dada por
Aqui μ é o peso molecular médio e m_H a massa do hidrogênio.
Passo 3
Para pequenas perturbações no meio homogêneo, a análise linear leva à definição do comprimento de Jeans (λ_J), ou seja, o menor comprimento de onda que cresce gravitacionalmente. Esse comprimento é
Passo 4
A massa de Jeans é a massa contida em um volume esférico de raio λ_J/2. Assim,
Substituindo λ_J, temos
Passo 5
Finalmente, substituindo c_s em função de T, obtemos a expressão da massa crítica de Jeans:
Resposta
M_J = \dfrac{\pi{5/2}}{6},G{-3/2},\rho{-1/2},\bigl(\tfrac{k_B,T}{\mu,m_H}\bigr){3/2}