Calcule os limites abaixo. Utilize a regra de LHôpital se necessário, mas antes de aplicar a regra, indique o tipo de indeterminação.
lim x +infty x sen(1x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+infty x,senl(tfrac1xr).
O conteúdo envolve identificação de indeterminação do tipo “ inftycdot 0” e, se necessário, aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Analisando o comportamento das partes: quando xto+infty temos ,xto+infty e sen(1/x)tosen(0)=0.
Logo o produto tende a inftycdot0, que é uma forma indeterminada do tipo “ inftycdot 0”.

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital, convertemos o produto em quociente:
x,senl(tfrac1xr) =sen(1/x)1/x
Agora, ao fazermos xto+infty, o numerador sen(1/x)to0 e o denominador 1/xto0, dando a forma “ 0/ 0”.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
Derivada do numerador
ddxl[sen(1/x)r] =cosl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r) =-cos(1/x)x^2
Derivada do denominador
ddxl[tfrac1xr] =-1x^2
O quociente das derivadas é
-cos(1/x)x^2-1x^2 =cosl(tfrac1xr)

Passo 5

Portanto
limxto+inftyx,senl(tfrac1xr) =limxto+inftycosl(tfrac1xr) =cos(0) =1

Resposta

1

Exercícios relacionados