Calcule
integral duplaB x d x d y, em que B é o conjunto, no plano x y, limitado pela cardioide rho=1-cos theta.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla ∬_B x dx dy sobre a região B limitada pela cardioide ρ = 1 – cos θ. O conteúdo aqui é integração em coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas x = r cos θ e dx dy = r dr dθ.

Passo 2

Em coordenadas polares, a integral vira
I = integral duplaB x,dx,dy = integral0^2piintegral0^1-costheta (rcostheta),r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^1-costheta r^2 costheta,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em r. Como ∫₀ᵃ r² dr = a³/3, com a = 1 – cos θ, obtemos
I = integral0^2pi (1-costheta)^33,costheta,dtheta

Passo 4

Agora expandimos (1–cos θ)³ = 1 – 3cos θ + 3cos²θ – cos³θ e multiplicamos por cos θ, ficando integrando cosθ – 3cos²θ + 3cos³θ – cos⁴θ. Usamos
∫₀^{2π}cosθ dθ=0,
∫₀^{2π}cos²θ dθ=π,
∫₀^{2π}cos³θ dθ=0,
∫₀^{2π}cos⁴θ dθ=3π/4,
e chegamos a
I = 13[0 - 3π + 0 - tfrac3π4] = -5π4

Resposta

-5pi4

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