Calcule
, em que
é o conjunto, no plano
, limitado pela cardioide
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral dupla ∬_B x dx dy sobre a região B limitada pela cardioide ρ = 1 – cos θ. O conteúdo aqui é integração em coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas x = r cos θ e dx dy = r dr dθ.
Passo 2
Em coordenadas polares, a integral vira
Passo 3
Primeiro integramos em r. Como ∫₀ᵃ r² dr = a³/3, com a = 1 – cos θ, obtemos
Passo 4
Agora expandimos (1–cos θ)³ = 1 – 3cos θ + 3cos²θ – cos³θ e multiplicamos por cos θ, ficando integrando cosθ – 3cos²θ + 3cos³θ – cos⁴θ. Usamos
∫₀^{2π}cosθ dθ=0,
∫₀^{2π}cos²θ dθ=π,
∫₀^{2π}cos³θ dθ=0,
∫₀^{2π}cos⁴θ dθ=3π/4,
e chegamos a
∫₀^{2π}cosθ dθ=0,
∫₀^{2π}cos²θ dθ=π,
∫₀^{2π}cos³θ dθ=0,
∫₀^{2π}cos⁴θ dθ=3π/4,
e chegamos a