(b) Para a equação diferencial y^prime+2 x y^2=0, determine a região onde se verificam as hipóteses do T.E.U.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a região em que a equação diferencial y' + 2xy^2 = 0 satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.), que exige que a função f(x,y) e sua derivada parcial partial f/partial y sejam contínuas.

Passo 2

Definimos f(x,y) = -2xy^2, pois a equação está na forma y' = f(x,y).

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial y(-2xy^2) = -4xy

Passo 4

Observamos que tanto f(x,y) = -2xy^2 quanto partial f/partial y = -4xy são polinômios em x e y, logo são contínuos para todos os (x,y) em R^2.

Resposta

A região onde se verificam as hipóteses do T.E.U. é todo o plano (x,y)inR^2.

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