Resolver os seguintes Problemas de Valores Iniciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem com condição inicial
:
O conteúdo central é reconhecer uma derivada de produto e depois integrar. Vamos usar a regra do produto para
Passo 2
Primeiro, reorganizo a equação para ter
e
:
Repare que, pela regra do produto,
Então a EDO vira
Passo 3
Agora integro ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Para achar a constante
, uso a condição inicial
. Como
, temos:
Passo 5
Substituindo
de volta e isolando
, fica:
$$y(x) = \frac{-\frac{x^2}{2} + 2 + \frac{\pi^2}{8}}{\sin x}.
$$