Resolver os seguintes Problemas de Valores Iniciais:
x+y cos x=-y^prime sen x ; y(pi / 2)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem com condição inicial y(pi/2)=2:
x + ycos x = -y',sin x
O conteúdo central é reconhecer uma derivada de produto e depois integrar. Vamos usar a regra do produto para ysin x.

Passo 2

Primeiro, reorganizo a equação para ter y' e y:
y',sin x + ycos x = -x
Repare que, pela regra do produto,
ddxl(ysin xr) = y',sin x + ycos x
Então a EDO vira
ddxl(ysin xr) = -x

Passo 3

Agora integro ambos os lados em relação a x:
ysin x = integral (-x),dx = -x^22 + C

Passo 4

Para achar a constante C, uso a condição inicial y(pi/2)=2. Como sin(pi/2)=1, temos:
2cdot1 = -(pi/2)^22 + C Longrightarrow C = 2 + pi^28

Passo 5

Substituindo C de volta e isolando y, fica:
$$y(x) = \frac{-\frac{x^2}{2} + 2 + \frac{\pi^2}{8}}{\sin x}.
$$

Resposta

y(x)=dfrac2+pi^28-x^22sin x

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