Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y^prime+p(x) y=q(x) y^alpha ; alpha neq 0,1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável v=y^1-alpha. Resolva as seguintes e.d.o:
4 x y^prime+3 y=-e^x x^4 y^5.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x,y' + 3y = -e^x x^4 y^5
e pede para resolver uma equação diferencial de Bernoulli (conteúdo: equação de Bernoulli e transformação que a torna linear). Vamos usar a mudança de variável para convertê-la numa equação linear de 1ª ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli y' + p(x)y = q(x)y^alpha. Dividindo ambos os lados por 4x:
y' + 34xy = -e^x x^44xy^5 = -e^x x^34,y^5

Passo 3

Da comparação com y' + p(x)y = q(x)y^alpha, identificamos:
alpha = 5, p(x) = 34x, q(x) = -e^x x^34 Agora aplicamos a mudança de variável típica: v = y^1-alpha = y^-4.

Passo 4

Segundo a teoria, a transformação leva a uma equação linear para v(x):
dvdx + (1-alpha)p(x)v = (1-alpha)q(x)
Como 1-alpha = -4, temos
dvdx - 4cdot34x,v = -4l(-e^x x^34r)
ou seja
dvdx - 3xv = e^x x^3

Passo 5

Agora resolvemos essa equação linear. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -3x,dx = e^-3ln x = x^-3
Multiplicando a equação por x^-3 obtém-se
x^-3dvdx - 3xx^-3v = e^x
que é
ddxl(x^-3vr) = e^x
Integrando:
x^-3v = integral e^x dx = e^x + C

Passo 6

Voltando à variável original: v = y^-4, então
y^-4 = x^3l(e^x + Cr)
e finalmente
y = l(x^3l(e^x + Cr)r)^-1/4 = 1l(x^3(e^x + C)r)^1/4

Resposta

y(x)=l[x^3l(e^x+Cr)r]^-1/4, onde C é a constante de integração.

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