Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma
. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável
. Resolva as seguintes e.d.o:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para resolver uma equação diferencial de Bernoulli (conteúdo: equação de Bernoulli e transformação que a torna linear). Vamos usar a mudança de variável para convertê-la numa equação linear de 1ª ordem.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli
. Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Da comparação com
, identificamos:
Passo 4
Segundo a teoria, a transformação leva a uma equação linear para
:
Como
, temos
ou seja
Passo 5
Agora resolvemos essa equação linear. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtém-se
que é
Integrando:
Passo 6
Voltando à variável original:
, então
e finalmente