Calcule integral duplaB y d A onde B é o conjunto
B é o triangulo de vértices (0,1),(1,1) e (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaB y,dA
onde B é o triângulo de vértices (0,1), (1,1) e (1,0).
O conteúdo é integração dupla sobre uma região planar, e vamos precisar:
  1. Descrever B por desigualdades em x e y.
  2. Montar a integral iterada.
  3. Calcular as integrais.

Passo 2

Para descrever B note que as arestas são:
  • De (0,1) a (1,1): reta y=1, 0<= x<=1.
  • De (1,1) a (1,0): reta x=1, 0<= y<=1.
  • De (1,0) a (0,1): reta y=1-x.
    Assim, para cada x em [0,1], y varia de y=1-x (aresta inferior) até y=1 (aresta superior).
    Logo
B=(x,y)mid 0<= x<=1,;1-x<= y<=1

Passo 3

Montamos a integral iterada
integral duplaBy,dA =integralx=0^1l[integraly=1-x^1y,dyr]dx
Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral1-x^1y,dy =[y^22]1-x^1 =12-(1-x)^22 =1-(1-2x+x^2)2 =2x-x^22 =x-x^22

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^1l(x-x^22r)dx =[x^22-x^36]0^1 =12-16 =3-16 =26 =13

Resposta

integral duplaBy,dA=13

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