Achar a solução particular de y^prime prime prime-2 y^prime prime-21 y^prime-18 y=3+4 e^-t sendo yc(t)=c1 e^-3 t+c2 e^-t+c3 e^6 t e W(y1, y2, y3)=126 e^2 t
(I) yp=e^-3 t(549-27 t)
(II) yp=27 t e^6 t-16
(III) yp=e^-t(549-27 t)-16

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y''' - 2y'' - 21y' - 18y = 3 + 4e^-t
sendo que a solução geral da homogênea é
yc(t)=c1e^-3t+c2e^-t+c3e^6t
Aqui vamos usar o método dos coeficientes a determinar, separando a parte constante 3 da exponencial 4e^-t.

Passo 2

Para a parte constante 3, tentamos uma solução particular do tipo
yp1=A, com A constante. Substituindo:
y'p1=0, y''p1=0, y'''p1=0,
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-18A = 3 Longrightarrow A = -tfrac16
Portanto
yp1 = -tfrac16

Passo 3

Para a parte 4e^-t, nota-se que e^-t já é solução da homogênea (raiz simples r=-1), então multiplicamos o ensaio por t:
yp2 = A,t,e^-t
Calculamos as derivadas:
y'p2 = A,e^-t(1 - t), y''p2 = A,e^-t(t - 2), y'''p2 = A,e^-t(-t + 3)
Substituindo no lado esquerdo:
y'''p2 - 2y''p2 - 21y'p2 - 18yp2 = A e^-tl[(-t+3)+(-2t+4)+(-21+21t)+(-18t)r] = -14A,e^-t
Igualando a 4e^-t vem
-14A = 4 Longrightarrow A = -tfrac27,
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yp2 = -tfrac27,t,e^-t

Passo 4

Somando as duas partes obtemos uma solução particular
yp = yp1 + yp2 = -tfrac16 ;-;tfrac27t,e^-t
Note que podemos somar qualquer múltiplo de e^-t (solução homogênea) e ainda ter uma particular válida.

Passo 5

Comparando com as opções dadas:
(I) envolve e^-3t, (II) envolve e^6t, ambas não combinam com nossas forças.
(III) é
yp = e^-tl(tfrac549-tfrac27tr);-;tfrac16,
que difere de nossa forma apenas por +tfrac549e^-t, um termo homogêneo, e portanto também é uma solução particular.

Resposta

(III)

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