Achar a solução particular de
sendo
e
(I)
(II)
(III)
(I)
(II)
(III)
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação
sendo que a solução geral da homogênea é
Aqui vamos usar o método dos coeficientes a determinar, separando a parte constante
da exponencial
.
Passo 2
Para a parte constante
, tentamos uma solução particular do tipo
, com
constante. Substituindo:
logo
Portanto
Passo 3
Para a parte
, nota-se que
já é solução da homogênea (raiz simples
), então multiplicamos o ensaio por
:
Calculamos as derivadas:
Substituindo no lado esquerdo:
Igualando a
vem
logo
Passo 4
Somando as duas partes obtemos uma solução particular
Note que podemos somar qualquer múltiplo de
(solução homogênea) e ainda ter uma particular válida.
Passo 5
Comparando com as opções dadas:
(I) envolve , (II) envolve
, ambas não combinam com nossas forças.
(III) é
(I) envolve
(III) é
que difere de nossa forma apenas por
, um termo homogêneo, e portanto também é uma solução particular.
Resposta
(III)