Use o teorema de Stoke para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti-horário visto desde cima
F(x, y, z)=i+(x+y z) j+(x y-raizz) k, C da interseção do plano x+z=5 e o cilindro x^2+y^2=9

Passo 1

O enunciado pede calcular
ointC Fcdot dr
onde F(x,y,z)=i+(x+yz),j+(xy-raizz),k e C é a curva de interseção do plano x+z=5 com o cilindro x^2+y^2=9, orientada no sentido anti-horário vista de cima (eixo z positivo).
Para isso vamos usar o Teorema de Stokes:
ointC Fcdot dr = integral duplaS l(nablatimesFr)cdot n;dS,
onde S é a parte do plano limitada por C.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Usando a definição em determinante,
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz 1 & x+yz & xy-raizz =(x-y),i-y,j+1,k

Passo 3

Parametrizamos a superfície S pelo disco D em (x,y) com x^2+y^2<=9 através de
r(x,y)=(x,;y,;5-x)
Então
partialrpartial x=(1,0,-1), partialrpartial y=(0,1,0),
e o vetor normal orientado é
partialrpartial xtimespartialrpartial y =(1,0,-1)times(0,1,0)=(1,0,1),
cuja componente z é positiva, garantindo a orientação correta para C anti-horário visto de cima.

Passo 4

O integrando fica
(nablatimesF)cdot l(tfracpartialrpartial xtimestfracpartialrpartial yr) =(x-y,, -y,,1)cdot(1,0,1) =x-y+1
Portanto
ointC Fcdot dr =integral duplaD (x - y + 1),dA

Passo 5

Como D é o disco centrado na origem de raio 3, temos
integral duplaD x,dA = 0, integral duplaD y,dA = 0,
por simetria, e
integral duplaD 1,dA = área(D)=9pi á
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integral duplaD (x-y+1),dA = 9pi

Resposta

9pi

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