Calcule integral duplaB y d A onde B é o conjunto
B=(x, y) in R^2 ; x >= 0, x^5-x <= y <= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaBy,dA
onde B é o conjunto
B=(x,y)in R^2;;x>=0,;x^5-x<= y<=0
O conteúdo usado aqui é a formulação de uma região tipo I (variável x externa e variável y interna) e a aplicação de integração iterada (Teorema de Fubini).

Passo 2

Precisamos determinar para quais valores de x>=0 existe y tal que x^5-x<= y<=0. Isso exige resolver
x^5 - x <= 0, x>=0
Fatorando,
x^5 - x = x,(x^4-1) = x,(x^2-1)(x^2+1)
As raízes relevantes são x=0 e x=1. Para 0<x<1, tem-se x>0 e x^4-1<0, logo x^5-x<0. Para x>1, x^5-x>0. Assim a desigualdade só vale em
0<= x<=1

Passo 3

Com isso a região B é dada por
0<= x<=1, x^5-x<= y<=0,
e a integral vira
integral duplaBy,dA =integralx=0^1l(integraly=x^5-x^0y,dyr)dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^5-x^0y,dy =[y^22]y=x^5-x^0 =0^2-(x^5-x)^22 =-(x^5 - x)^22
Logo a integral total é
integral duplaBy,dA =-12integral0^1(x^5-x)^2,dx

Passo 5

Expandindo o integrando e integrando termo a termo:
(x^5-x)^2 = x^10-2x^6+x^2,
então
integral0^1(x^10-2x^6+x^2),dx =[x^1111-2x^77+x^33]0^1 =111-27+13 =32231
Multiplicando por -tfrac12
-12cdot32231 =-16231

Resposta

integral duplaBy,dA = -16231

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