Questão 10: Analise a continuidade das funções (contínua, contínua à direita, contínua à esquerda).
i(x)=c3-x , se x<1 4 , se x=1 x^2+1 , se x>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
i(x)= 3 - x, & se x<1, 4, & se x=1, x^2+1, & se x>1,
e pede para analisar onde ela é contínua, contínua à esquerda e contínua à direita. Vamos estudar três casos: x<1, x>1 e x=1.

Passo 2

Para x<1 temos i(x)=3-x. Como 3-x é um polinômio, ele é contínuo em toda reta. Logo i é contínua em cada ponto de (-infty,1).
Para x>1 temos i(x)=x^2+1. Também sendo um polinômio, x^2+1 é contínuo em toda reta. Logo i é contínua em cada ponto de (1,infty).

Passo 3

No ponto x=1 calculamos os limites laterais:
limxto1^-i(x)=limxto1^-(3-x)=3-1=2,
limxto1^+i(x)=limxto1^+(x^2+1)=1^2+1=2
Ambos os limites existem e valem 2, mas i(1)=4. Como
limxto1i(x)=2neq i(1)=4,
não há continuidade em x=1.

Passo 4

Para ser contínua à esquerda em x=1 precisaríamos de
limxto1^-i(x)=i(1),
ou seja 2=4, o que não ocorre. Portanto não é contínua à esquerda em x=1.
Análogo para continuidade à direita: precisaríamos de
limxto1^+i(x)=i(1),
ou seja 2=4, também falso. Logo não é contínua à direita em x=1.

Resposta

A função i é contínua em todo ponto de (-infty,1)cup(1,infty) e não é (nem à esquerda, nem à direita) contínua em x=1.

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