Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
O conteúdo aqui é mudança da ordem de integração num domínio planar
. Precisamos descrever
em termos de
primeiro e depois de
.
Passo 2
O domínio
é dado por
O limite inferior
é uma parábola com vértice em
e o limite superior
é metade superior de um círculo de raio
centrado na origem. As curvas se cruzam em
, que leva a
, ou seja, em
.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro identificamos a variação total de
em
. O menor valor de
é
(no vértice da parábola) e o maior valor é
(no topo do semicírculo). Assim
Passo 4
Para um
fixo, as restrições em
são
e
O intervalo de
é a interseção
. Para saber qual é o mais apertado, comparamos
e
. A igualdade ocorre em
.
- Se
, então e varia de a . - Se
, então e varia de a .
Passo 5
Agora escrevemos a integral invertida como soma de duas integrais em
: