Inverta a ordem de integração:
integral-1^1 integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral-1^1 integralx^2^raiz2 - x^2 f(x,y),dy,dx
O conteúdo aqui é mudança da ordem de integração num domínio planar DsubsetR^2. Precisamos descrever D em termos de y primeiro e depois de x.

Passo 2

O domínio D é dado por
D = (x,y)mid -1 <= x <= 1,; x^2 <= y <= raiz2 - x^2
O limite inferior y = x^2 é uma parábola com vértice em (0,0) e o limite superior y = raiz2 - x^2 é metade superior de um círculo de raio raiz2 centrado na origem. As curvas se cruzam em x^2 = raiz2 - x^2, que leva a x^2=1, ou seja, em (pm1,1).

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro identificamos a variação total de y em D. O menor valor de y é 0 (no vértice da parábola) e o maior valor é raiz2 (no topo do semicírculo). Assim
0 <= y <= raiz2

Passo 4

Para um y fixo, as restrições em x são
x^2 <= y Longrightarrow -raizy<= x<= raizy,
e
y <= raiz2 - x^2 Longrightarrow x^2 <= 2 - y^2 Longrightarrow -raiz2 - y^2<= x<= raiz2 - y^2
O intervalo de x é a interseção [-,raizy,raizy]cap[-,raiz2-y^2,raiz2-y^2]. Para saber qual é o mais apertado, comparamos raizy e raiz2-y^2. A igualdade ocorre em y=1.
  • Se 0<= y<=1, então raizy<=raiz2-y^2 e x varia de -raizy a raizy.
  • Se 1<= y<=raiz2, então raiz2-y^2<=raizy e x varia de -raiz2-y^2 a raiz2-y^2.

Passo 5

Agora escrevemos a integral invertida como soma de duas integrais em y:
integral-1^1!!integralx^2^raiz2 - x^2 f(x,y),dy,dx = integral0^1!!integral-raizy^raizy f(x,y),dx,dy ;+; integral1^raiz2!!integral-raiz2 - y^2^raiz2 - y^2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral-1^1integralx^2^raiz2 - x^2 f(x,y),dy,dx = integral0^1integral-raizy^raizy f(x,y),dx,dy + integral1^raiz2integral-raiz2 - y^2^raiz2 - y^2 f(x,y),dx,dy

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