Calcule
em que
é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 5. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente coordenadas polares, que vão facilitar nossa vida nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que usar coordenadas polares. A expressão
aparece frequentemente quando trabalhamos com coordenadas cartesianas, mas em coordenadas polares, isso simplesmente se torna
. Além disso, a área
em coordenadas polares é representada por
, o que simplifica a integração sobre regiões circulares ou seccionais delas.
Passo 3
Agora, vamos converter nossa integral para coordenadas polares. Sabemos que:
Como
é a metade superior do disco de raio 5, nossos limites de integração para
vão de
a
(meio círculo superior) e para
vão de
a
. Substituindo tudo na integral, fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos com relação a
:
Passo 5
Agora, integramos com relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.