Calcule integral duplaD 12 raizx^2+y^2 d A em que D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaD 12 raizx^2+y^2 , dA, onde D é a metade superior de um disco com centro na origem e raio 5. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente coordenadas polares, que vão facilitar nossa vida nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que usar coordenadas polares. A expressão raizx^2+y^2 aparece frequentemente quando trabalhamos com coordenadas cartesianas, mas em coordenadas polares, isso simplesmente se torna r. Além disso, a área dA em coordenadas polares é representada por r , dr , dtheta, o que simplifica a integração sobre regiões circulares ou seccionais delas.

Passo 3

Agora, vamos converter nossa integral para coordenadas polares. Sabemos que:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • dA = r , dr , dtheta
  • raizx^2+y^2 = r
Como D é a metade superior do disco de raio 5, nossos limites de integração para theta vão de 0 a pi (meio círculo superior) e para r vão de 0 a 5. Substituindo tudo na integral, fica:
integral duplaD 12 raizx^2+y^2 , dA = integral0^pi integral0^5 12r cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
integral0^pi integral0^5 12r^2 , dr , dtheta
Primeiro, integramos com relação a r:
integral0^5 12r^2 , dr = 12 cdot [ r^33 ]0^5 = 12 cdot ( 1253 - 0 ) = 12 cdot 1253 = 500

Passo 5

Agora, integramos com relação a theta:
integral0^pi 500 , dtheta = 500 cdot [ theta ]0^pi = 500 cdot (pi - 0) = 500pi

Resposta

O valor da integral é 500pi.

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