Encontre a função inversa da função
sabendo que ela é injetora.
Passo 1
Certo, temos o problema de encontrar a função inversa da função
. Estamos trabalhando com funções e suas inversas, e para resolver isso, vamos precisar entender como inverter uma função racional. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, para encontrar a função inversa
, queremos expressar
em termos de
, onde
. Então, começamos substituindo
por
:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar a fração:
Passo 4
Distribuímos o
dentro do parêntese:
Passo 5
Queremos reunir todas as expressões com
de um lado e os termos sem
do outro. Vamos trazer os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 6
Fatoramos
nos termos do lado direito:
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
por
para obter a função inversa:
Resposta
A função inversa é
.