Encontre a função inversa da função
f(x) = (1 + 3 x) / (5 - 2 x)
sabendo que ela é injetora.

Passo 1

Certo, temos o problema de encontrar a função inversa da função . Estamos trabalhando com funções e suas inversas, e para resolver isso, vamos precisar entender como inverter uma função racional. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para encontrar a função inversa , queremos expressar em termos de , onde . Então, começamos substituindo por :

Passo 3

Agora, nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:

Passo 4

Distribuímos o dentro do parêntese:

Passo 5

Queremos reunir todas as expressões com de um lado e os termos sem do outro. Vamos trazer os termos com para um lado e os demais para o outro:

Passo 6

Fatoramos nos termos do lado direito:

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Finalmente, substituímos por para obter a função inversa:

Resposta

A função inversa é .

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