Calcule
, sendo D a região do semiplano
interna à cardióide
e externa à circunferência
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do semiplano
compreendida entre o círculo
(internamente) e a cardióide
(externamente). Vamos precisar usar coordenadas polares, pois a integranda depende só de
e as curvas são dadas em
.
Passo 2
Em coordenadas polares, temos
,
,
e
. Então a integranda fica
Passo 3
Precisamos identificar os limites de
e
. O semiplano
em polares corresponde a
. Para cada
nessa faixa, o raio
varia do círculo interno
até a cardióide externa
.
Assim montamos a integral iterada:
Assim montamos a integral iterada:
Passo 4
Fazendo primeiro a integral em
:
Logo a integral total fica
Resposta
2