Calcule integral duplaD 1raizx^2+y^2 d A, sendo D a região do semiplano x >= 0 interna à cardióide r= 1+cos theta e externa à circunferência r=1.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD 1raizx^2+y^2,dA, onde D é a região do semiplano x>=0 compreendida entre o círculo r=1 (internamente) e a cardióide r=1+costheta (externamente). Vamos precisar usar coordenadas polares, pois a integranda depende só de r=raizx^2+y^2 e as curvas são dadas em r(theta).

Passo 2

Em coordenadas polares, temos x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta e raizx^2+y^2=r. Então a integranda fica
1raizx^2+y^2,dA = 1r;r,dr,dtheta = dr,dtheta,

Passo 3

Precisamos identificar os limites de r e theta. O semiplano x>=0 em polares corresponde a -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Para cada theta nessa faixa, o raio r varia do círculo interno r=1 até a cardióide externa r=1+costheta.
Assim montamos a integral iterada:
integraltheta=-pi2^pi2 integralr=1^1+costheta dr,dtheta

Passo 4

Fazendo primeiro a integral em r:
integralr=1^1+costheta dr = (1+costheta)-1 = costheta
Logo a integral total fica
integral-pi2^pi2 costheta ,dtheta = l[sinthetar]-pi2^pi2 = 1 - (-1) = 2

Resposta

2

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