Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime-4 y=5 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem $ y’’ - 4y = 5 \sin x $. Aqui, estamos lidando com uma equação linear com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada, que é $ y’’ - 4y = 0 $. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.
A equação característica é:
y'' - 4y = 0
Resolvendo para $ r $:
r^2 - 4 = 0
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea $ y_h $ é dada por:
yh
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - 4y = 5 \sin x $. Como o termo não homogêneo é $ 5 \sin x $, vamos supor uma solução particular da forma:
yp
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
yp
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
yp' = -A sin x + B cos x yp'' = -A cos x - B sin x
Simplificando:
yp
Agora, igualamos os coeficientes:
yp''
Resolvendo:
(-A cos x - B sin x) - 4(A cos x + B sin x) = 5 sin x
Então, a solução particular é:
- A cos x - B sin x - 4A cos x - 4B sin x = 5 sin x (-5A) cos x + (-5B) sin x = 5 sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y = 5 \sin x $ é:
y'' - 4y = 5 sin x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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