Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem $ y’’ - 4y = 5 \sin x $. Aqui, estamos lidando com uma equação linear com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada, que é $ y’’ - 4y = 0 $. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para $ r $:
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea $ y_h $ é dada por:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - 4y = 5 \sin x $. Como o termo não homogêneo é $ 5 \sin x $, vamos supor uma solução particular da forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y = 5 \sin x $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.