Nos exercícios
, resolva os PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos usar métodos como a solução da equação homogênea e a solução particular. Precisamos achar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação e também as condições $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rx} $:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores são complexos, então isso significa que a solução homogênea será com funções exponenciais e seno/cosseno.
Passo 4
Com os valores de $ r = 2 \pm i $, a solução homogênea fica:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais pra frente usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos achar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é $ 2e^{x} $, vamos tentar uma solução particular da forma $ y_p = A e^{x} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos derivar $ y_p $:
Substituindo na equação:
Então, $ A = 1 $.
Passo 7
Com isso, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ x = 0 $:
Passo 10
Agora, vamos derivar $ y(x) $ para aplicar a segunda condição. A derivada é:
Substituindo $ C_1 = -1 $:
Passo 11
Com $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = 2 $, a solução final fica:
Resposta
A solução do PVI é: