Nos exercícios 15-20, resolva os PVI:
ly^prime prime-4 y^prime+5 y=2 e^x y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e vamos usar métodos como a solução da equação homogênea e a solução particular. Precisamos achar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação e também as condições $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 4y' + 5y = 0
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rx} $:
y

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r
Os valores são complexos, então isso significa que a solução homogênea será com funções exponenciais e seno/cosseno.

Passo 4

Com os valores de $ r = 2 \pm i $, a solução homogênea fica:
r = 2 pm i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais pra frente usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos achar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é $ 2e^{x} $, vamos tentar uma solução particular da forma $ y_p = A e^{x} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos derivar $ y_p $:
yp
yp' = A e^x
Substituindo na equação:
yp'' = A e^x
A e^x - 4A e^x + 5A e^x = 2e^x
(1 - 4 + 5)A e^x = 2e^x
Então, $ A = 1 $.

Passo 7

Com isso, a solução particular é:
yp(x) = e^x

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^2x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) ) + e^x

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ x = 0 $:
C1
C2

Passo 10

Agora, vamos derivar $ y(x) $ para aplicar a segunda condição. A derivada é:
y(x)
y'(x) = e^2x ( 2(C1 cos(x) + C2 sin(x)) + (-C1 sin(x) + C2 cos(x)) ) + e^x
Substituindo $ C_1 = -1 $:
y'(0) = e^0 ( 2(C1 cdot 1 + C2 cdot 0) + (-C1 cdot 0 + C2 cdot 1) ) + e^0 = 2C1 + C2 + 1 = 1

Passo 11

Com $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = 2 $, a solução final fica:
C1 = -1

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = e^2x ( -cos(x) + 2sin(x) ) + e^x

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