Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO:
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Simplificando:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
, que não é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar
.
Passo 7
No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são as soluções da equação homogênea, e
,
são funções a serem determinadas.
Passo 8
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, impostamos a condição:
Isso reduz as expressões das derivadas para:
Passo 9
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Isso resulta em:
Usando a equação homogênea
, temos
e
.
Substituindo:
Simplificando:
O que não faz sentido, então precisamos voltar e ajustar nosso método.
Passo 10
Na verdade, seguimos o método de variação de parâmetros corretamente. Após impor
, obtemos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 11
Escrevemos o sistema em forma matricial:
$$
$$
Para resolver, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes (Wronskiano):
Passo 12
Usando as soluções da parte homogênea:
Calculamos as derivadas:
Agora, encontramos o Wronskiano:
Passo 13
Agora, aplicamos a fórmula de variação de parâmetros:
Passo 14
Integrando
e
:
A integral de
não possui uma solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-la em termos da função exponencial integral,
.
Passo 15
Assim, temos:
Agora, substituímos
e
na expressão da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a função integral exponencial.