Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime+y^prime=1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO:
y'' + y' = 1x
Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y' = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx, onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^rx na equação homogênea:
r^2 e^rx + r e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx (que nunca é zero):
e^rx(r^2 + r) = 0
Então, temos a equação característica:
r^2 + r = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r(r + 1) = 0
Isso nos dá duas raízes:
r1 = 0
r2 = -1

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^0x + C2 e^-x
Simplificando:
yh = C1 + C2 e^-x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' + y' = 1x
Como o termo não homogêneo é 1x, que não é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar yp.

Passo 7

No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
yp = u1 y1 + u2 y2
onde y1 e y2 são as soluções da equação homogênea, e u1, u2 são funções a serem determinadas.

Passo 8

Primeiro, calculamos as derivadas de yp:
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
yp'' = u1'' y1 + 2u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2u2' y2' + u2 y2''
Mas para simplificar, impostamos a condição:
u1' y1 + u2' y2 = 0
Isso reduz as expressões das derivadas para:
yp' = u1 y1' + u2 y2'
yp'' = u1 y1'' + u2 y2''

Passo 9

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
yp'' + yp' = 1x
Isso resulta em:
u1 y1'' + u2 y2'' + u1 y1' + u2 y2' = 1x
Usando a equação homogênea y'' + y' = 0, temos y1'' = -y1' e y2'' = -y2'.
Substituindo:
u1 (-y1') + u2 (-y2') + u1 y1' + u2 y2' = 1x
Simplificando:
0 = 1x
O que não faz sentido, então precisamos voltar e ajustar nosso método.

Passo 10

Na verdade, seguimos o método de variação de parâmetros corretamente. Após impor u1' y1 + u2' y2 = 0, obtemos um sistema de equações:
u1' y1 + u2' y2 = 0 u1' y1' + u2' y2' = 1x
Vamos resolver esse sistema para encontrar u1' e u2'.

Passo 11

Escrevemos o sistema em forma matricial:

$$
y1 & y2 y1' & y2' u1' u2' = 0 1x
W = y1 y2' - y2 y1'

$$
Para resolver, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes (Wronskiano):

Passo 12

Usando as soluções da parte homogênea:
y1 = 1
y2 = e^-x
Calculamos as derivadas:
y1' = 0
y2' = -e^-x
Agora, encontramos o Wronskiano:
W = (1)(-e^-x) - (e^-x)(0) = -e^-x

Passo 13

Agora, aplicamos a fórmula de variação de parâmetros:
u1' = -y2 cdot g(x)W = -e^-x cdot 1x-e^-x = 1x
u2' = y1 cdot g(x)W = 1 cdot 1x-e^-x = -1x e^-x = -e^xx

Passo 14

Integrando u1' e u2':
u1 = integral 1x dx = ln|x| + C
u2 = integral -e^xx dx
A integral de -e^xx não possui uma solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-la em termos da função exponencial integral, Ei(x).

Passo 15

Assim, temos:
u1 = ln|x|
u2 = -Ei(x)
Agora, substituímos u1 e u2 na expressão da solução particular:
yp = u1 y1 + u2 y2 = ln|x| cdot 1 + (-Ei(x)) cdot e^-x = ln|x| - e^-x Ei(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 + C2 e^-x + ln|x| - e^-x , Ei(x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e Ei(x) é a função integral exponencial.

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