Calcule integral duplaD 1x^2+y^2 d A, onde D=(x, y) in R^2: 1 <= x^2+y^2 <= 4, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD 1x^2+y^2 , dA, onde a região D é definida por 1 <= x^2+y^2 <= 4 e y >= 0. Esse problema está relacionado ao cálculo em coordenadas polares, que é super útil quando lidamos com círculos ou regiões circulares. Vamos precisar mudar para coordenadas polares para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A condição 1 <= x^2+y^2 <= 4 descreve uma coroa circular (uma região entre dois círculos) com raios 1 e 2. A condição y >= 0 nos diz que estamos considerando apenas a metade superior dessa coroa. Então, nossa região D é meio anel.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que x = r cos theta e y = r sin theta, e que dA = r , dr , dtheta. Além disso, x^2+y^2 = r^2. Isso simplifica a nossa função dentro da integral.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral duplaD 1x^2+y^2 , dA = integraltheta=0^pi integralr=1^2 1r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, theta varia de 0 a pi porque estamos apenas na metade superior do plano, e r varia de 1 a 2.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
1r^2 cdot r = 1r
Então, a integral fica:
integral0^pi integral1^2 1r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a r:
integral1^2 1r , dr = ln r |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2
Lembrando que ln 1 = 0.

Passo 7

Com isso, a integral fica:
integral0^pi ln 2 , dtheta = ln 2 cdot theta |0^pi = ln 2 cdot pi

Resposta

A integral dupla vale pi cdot ln 2.

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