Calcule integral triplaE z^2 d V, onde E=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= 1 e z >= raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de $ z^{2} $ sobre a região $ E $, que é definida como todos os pontos z^2 em três dimensões que satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ (ou seja, dentro da esfera de raio 1) e $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas esféricas e integração tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ E $. A condição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. A segunda condição, $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, pode ser reescrita como $ z \geq r $ onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso significa que estamos olhando para a parte da esfera onde a coordenada $ z $ é maior ou igual à distância radial no plano $ xy $. Essa região é um cone dentro da esfera.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
  • Para $ \rho $: Como estamos dentro da esfera de raio 1, $ \rho $ varia de 0 a 1.
  • Para $ \theta $: Como a região é simétrica em torno do eixo $ z $, $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
  • Para $ \phi $: A condição $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ se traduz em $ \rho \cos\phi \geq \rho \sin\phi $, ou seja, $ \cos\phi \geq \sin\phi $. Dividindo ambos os lados por $ \cos\phi $ (desde que $ \cos\phi > 0 $), obtemos $ 1 \geq \tan\phi $, então $ \phi \leq \frac{\pi}{4} $.

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 (rho cosphi)^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi dtheta integral0^pi4 sinphi cos^2phi , dphi integral0^1 rho^4 , drho

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma a uma:
  1. Integral em $ \rho $:
rho
  1. Integral em $ \phi $:
    Primeiro, vamos integrar $ \sin\phi \cos^{2}\phi $:
integral0^1 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^1 = 15
Fazendo a substituição $ u = \cos\phi $, $ du = -\sin\phi , d\phi $:
phi
Aplicando os limites de 0 a $ \frac{\pi}{4} $:
sinphi cos^2phi
  1. Integral em $ \theta $:
integral sinphi cos^2phi , dphi

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
integral triplaE z^2 , dV = 2pi cdot 4 - raiz212 cdot 15 = 2pi (4 - raiz2)60 = pi (4 - raiz2)30
Então, o valor da integral é $ \frac{\pi (4 - \sqrt{2})}{30} $.

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