Calcule
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral tripla de $ z^{2} $ sobre a região $ E $, que é definida como todos os pontos
em três dimensões que satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ (ou seja, dentro da esfera de raio 1) e $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas esféricas e integração tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ E $. A condição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. A segunda condição, $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, pode ser reescrita como $ z \geq r $ onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso significa que estamos olhando para a parte da esfera onde a coordenada $ z $ é maior ou igual à distância radial no plano $ xy $. Essa região é um cone dentro da esfera.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
-
Para $ \rho $: Como estamos dentro da esfera de raio 1, $ \rho $ varia de 0 a 1.
-
Para $ \theta $: Como a região é simétrica em torno do eixo $ z $, $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
-
Para $ \phi $: A condição $ z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ se traduz em $ \rho \cos\phi \geq \rho \sin\phi $, ou seja, $ \cos\phi \geq \sin\phi $. Dividindo ambos os lados por $ \cos\phi $ (desde que $ \cos\phi > 0 $), obtemos $ 1 \geq \tan\phi $, então $ \phi \leq \frac{\pi}{4} $.
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma a uma:
- Integral em $ \rho $:
- Integral em $ \phi $:
Primeiro, vamos integrar $ \sin\phi \cos^{2}\phi $:
Fazendo a substituição $ u = \cos\phi $, $ du = -\sin\phi , d\phi $:
Aplicando os limites de 0 a $ \frac{\pi}{4} $:
- Integral em $ \theta $:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais:
Então, o valor da integral é $ \frac{\pi (4 - \sqrt{2})}{30} $.