Calcule integral triplaE 4 x d V, onde E=(x, y, z) in R^3: 0 <= y <= 1,0 <= x <= raiz1-y^2, 0 <= z <= y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla integral triplaE 4x , dV. Isso está no contexto de cálculo multivariável, especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos entender os limites de integração e aplicar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região E onde vamos integrar. A região é definida por:
  • 0 <= y <= 1
  • 0 <= x <= raiz1 - y^2
  • 0 <= z <= y
Isso significa que y varia de 0 a 1, para cada valor de y, x varia de 0 até raiz1 - y^2, e para cada (x, y), z varia de 0 a y.

Passo 3

Vamos configurar a integral tripla de acordo com os limites:
integral triplaE 4x , dV = integral0^1 integral0^raiz1 - y^2 integral0^y 4x , dz , dx , dy
Aqui, começamos integrando em relação a z, depois x e por fim y.

Passo 4

Integrando primeiro em relação a z:
integral0^y 4x , dz = 4x cdot z |0^y = 4x cdot y
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^raiz1 - y^2 4xy , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral0^raiz1 - y^2 4xy , dx = 4y integral0^raiz1 - y^2 x , dx = 4y ( x^22 ) |0^raiz1 - y^2 = 4y cdot 1 - y^22 = 2y(1 - y^2)
Assim, a integral agora é:
integral0^1 2y(1 - y^2) , dy

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a y:
integral0^1 2y(1 - y^2) , dy = 2 integral0^1 (y - y^3) , dy = 2 ( y^22 - y^44 ) |0^1 = 2 ( 12 - 14 ) = 2 cdot 14 = 12

Resposta

O valor da integral tripla é 12.

Exercícios relacionados