Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2-4 x+4 e y=-3 x^2+12 x-8 em torno do eixo x=5 usando o método das cascas.
Escolha uma opção:
a. 2 pi integral0^1 y(2 raizy) d y+2 pi integral1^4 y(2 raiz4-y3) d y
b. pi integral1^3[(x^2-4 x-1)^2-(-3 x^2+12 x-13)^2] d x
c. 2 pi integral0^1(5-y)(2 raizy) d y+2 pi integral1^4(5-y)(2 raiz4-y3) d y
d. pi integral0^1[(raizy-3)^2-(-raizy-3)^2] d y+pi integral1^4[(raiz4-y3-3)^2-(-raiz4-y3-3)^2] d y
e. 2 pi integral1^3(5-x)(-4 x^2+16 x-12) d x
f. 2 pi integral1^3 x(-4 x^2+16 x-12) d x
g. pi integral0^1[(raizy+2)^2-(-raizy+2)^2] d y+pi integral1^4[(raiz4-y3+2)^2-(-raiz4-y3+2)^2] d y
h. pi integral1^3[(x^2-4 x+4)^2-(-3 x^2+12 x-8)^2] d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas, $ y = x^{2} - 4x + 4 $ e $ y = -3x^{2} + 12x - 8 $, que delimitam uma região no plano. Queremos encontrar o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo vertical $ x = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

O método das cascas consiste em imaginar o sólido como uma série de cascas cilíndricas infinitesimais. Cada casca tem um raio, uma altura e uma espessura $ dx $. A fórmula para o volume de uma casca é:
dx
Aqui, precisamos identificar o raio e a altura de cada casca.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo $ x = 5 $, o raio de cada casca será a distância entre o ponto da curva e o eixo de rotação. Se considerarmos um ponto genérico em $ x $, o raio será $ 5 - x $.

Passo 4

A altura da casca será a diferença entre as duas funções $ y $ no mesmo valor de $ x $. Então, a altura será:
y

Passo 5

Agora, substituímos o raio e a altura na fórmula do volume da casca:
V = 2pi integrala^b (5 - x)(-4x^2 + 16x - 12) , dx
Onde $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que são os pontos onde as duas curvas se interceptam.

Passo 6

Para encontrar os limites de integração, resolvemos $ x^{2} - 4x + 4 = -3x^{2} + 12x - 8 $:
x^2 - 4x + 4 = -3x^2 + 12x - 8
Resolvendo essa equação, encontramos $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Portanto, os limites são de 1 a 3.

Passo 7

Substituindo tudo na integral, temos:
V = 2pi integral1^3 (5 - x)(-4x^2 + 16x - 12) , dx

Resposta

A alternativa correta é a opção e:
2 pi integral1^3(5 - x)(-4 x^2 + 16 x - 12) d x

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