Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o método das cascas.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas, $ y = x^{2} - 4x + 4 $ e $ y = -3x^{2} + 12x - 8 $, que delimitam uma região no plano. Queremos encontrar o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo vertical $ x = 5 $. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
O método das cascas consiste em imaginar o sólido como uma série de cascas cilíndricas infinitesimais. Cada casca tem um raio, uma altura e uma espessura $ dx $. A fórmula para o volume de uma casca é:
Aqui, precisamos identificar o raio e a altura de cada casca.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo $ x = 5 $, o raio de cada casca será a distância entre o ponto da curva e o eixo de rotação. Se considerarmos um ponto genérico em $ x $, o raio será $ 5 - x $.
Passo 4
A altura da casca será a diferença entre as duas funções $ y $ no mesmo valor de $ x $. Então, a altura será:
Passo 5
Agora, substituímos o raio e a altura na fórmula do volume da casca:
Onde $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que são os pontos onde as duas curvas se interceptam.
Passo 6
Para encontrar os limites de integração, resolvemos $ x^{2} - 4x + 4 = -3x^{2} + 12x - 8 $:
Resolvendo essa equação, encontramos $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Portanto, os limites são de 1 a 3.
Passo 7
Substituindo tudo na integral, temos:
Resposta
A alternativa correta é a opção e: