Calcule:
6.9)
, onde
.
6.9)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é o disco de raio 1 centrado em
. O conteúdo envolvido é mudança de variáveis para deslocar o centro do disco e uso de simetria para simplificar integrais.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
e
. Assim a região
vira
(disco unitário centrado na origem) e
. O integrando fica
. Então
[\iint_{D}x^2,dx,dy = \iint_{u2+v2\le1}(u^2+2u+1),du,dv = \iint(u^2),du,dv + 2\iint u,du,dv + \iint1,du,dv.
Passo 3
Pela simetria do disco,
, pois o termo
é função ímpar em relação ao eixo
. Para
usamos que por simetria
e
Logo
Passo 4
A integral de
sobre o disco de raio 1 é a área dele, ou seja
. Somando tudo: