Calcule:
6.9) integral duplaD x^2 d x d y, onde D=(x, y) in R^2 ;(x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaDx^2,dx,dy, onde D é o disco de raio 1 centrado em (1,0). O conteúdo envolvido é mudança de variáveis para deslocar o centro do disco e uso de simetria para simplificar integrais.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis u=x-1 e v=y. Assim a região D vira u^2+v^2<=1 (disco unitário centrado na origem) e x=u+1. O integrando fica x^2=(u+1)^2=u^2+2u+1. Então
[\iint_{D}x^2,dx,dy = \iint_{u2+v2\le1}(u^2+2u+1),du,dv = \iint(u^2),du,dv + 2\iint u,du,dv + \iint1,du,dv.

Passo 3

Pela simetria do disco, integral duplau^2+v^2<=1u,du,dv=0, pois o termo u é função ímpar em relação ao eixo v. Para integral dupla u^2,du,dv usamos que por simetria integral dupla u^2=integral dupla v^2 e integral duplau^2+v^2<=1(u^2+v^2),du,dv = integral0^2piintegral0^1r^2cdot r,dr,dtheta = 2pi1^44=pi2 Logo integral dupla u^2,du,dv=tfrac12cdottfracpi2=tfracpi4

Passo 4

A integral de 1 sobre o disco de raio 1 é a área dele, ou seja pi. Somando tudo: integral duplaDx^2,dx,dy = pi4 + 0 + pi = 5pi4

Resposta

5pi4

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