Seja
o quadrado no plano
limitado pelas retas
. Considere a transformação
definida por
e
.
1.3) Determine o jacobiano da transformação
.
1.3) Determine o jacobiano da transformação
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre transformações no plano e sobre como calcular o jacobiano de uma transformação. A gente precisa encontrar o jacobiano da transformação
que mapeia um ponto
para
, onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a transformação
está definida:
Aqui,
e
são funções de
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o jacobiano. O jacobiano é uma matriz que ajuda a entender como a transformação
muda as áreas (ou volumes, em dimensões maiores) no plano. Para funções de duas variáveis, o jacobiano é uma matriz
formada pelas derivadas parciais das funções
e
em relação a
e
. A fórmula geral é:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
: Comonão depende de , a derivada de em relação a é 0. -
: Como, a derivada de em relação a é 1. -
: Com, a derivada de em relação a é , já que é tratado como constante. -
: Para derivarem relação a , tratamos como constante e aplicamos a regra da potência:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na matriz jacobiana:
Passo 6
Por fim, o jacobiano da transformação
é o determinante dessa matriz:
Resposta
O jacobiano da transformação
é
.