Seja S o quadrado no plano u v limitado pelas retas u=0, u=1, v=0 e v=1. Considere a transformação varphi: R^2 R^2 definida por x=v e y=u(1+v^2).
1.3) Determine o jacobiano da transformação varphi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre transformações no plano e sobre como calcular o jacobiano de uma transformação. A gente precisa encontrar o jacobiano da transformação varphi que mapeia um ponto (u, v) para (x, y), onde x = v e y = u(1 + v^2). Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a transformação varphi está definida:
x = v y = u(1 + v^2)
Aqui, x e y são funções de u e v.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o jacobiano. O jacobiano é uma matriz que ajuda a entender como a transformação varphi muda as áreas (ou volumes, em dimensões maiores) no plano. Para funções de duas variáveis, o jacobiano é uma matriz 2 times 2 formada pelas derivadas parciais das funções x e y em relação a u e v. A fórmula geral é:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. partial xpartial u:
    Como x = v não depende de u, a derivada de x em relação a u é 0.
    partial xpartial u = 0
  2. partial xpartial v:
    Como x = v, a derivada de x em relação a v é 1.
    partial xpartial v = 1
  3. partial ypartial u:
    Com y = u(1 + v^2), a derivada de y em relação a u é 1 + v^2, já que v é tratado como constante.
    partial ypartial u = 1 + v^2
  4. partial ypartial v:
    Para derivar y = u(1 + v^2) em relação a v, tratamos u como constante e aplicamos a regra da potência:
    partial ypartial v = u cdot 2v = 2uv

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na matriz jacobiana:
J = 0 & 1 1 + v^2 & 2uv

Passo 6

Por fim, o jacobiano da transformação varphi é o determinante dessa matriz:
Jacobian = det(J) = (0)(2uv) - (1)(1 + v^2) = - (1 + v^2)

Resposta

O jacobiano da transformação varphi é - (1 + v^2).

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