Calcule.
integral duplaD x y d x d y, onde D: 0 <= x <= y, x^2+y^2 <= R^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaD x,y ,dx,dy,
onde D=(x,y)mid 0<= x<= y,;x^2+y^2<= R^2.
O conteúdo aqui é integração em coordenadas polares, pois a região é parte de um disco e a função x,y se expressa facilmente em termos de r e theta.

Passo 2

Fazendo a mudança
x = rcostheta, y=rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
a condição 0<= x<= y com x,y>=0 vira
costheta<=sintheta e thetain[0,pi/2], ou seja thetain[pi/4,pi/2], e o disco interno é 0<= r<= R.
Assim a integral fica
integral duplaDx,y,dx,dy =integraltheta=pi/4^pi/2!integralr=0^R (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integralpi/4^pi/2!integral0^Rr^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em r:
integral0^Rr^3,dr =gl[r^44gr]0^R =R^44
Logo a integral reduz-se a
R^44 integralpi/4^pi/2costhetasintheta,dtheta

Passo 4

Para a parte angular, use costhetasintheta=tfrac12sin^2theta'!)' ou diretamente
integralcosthetasintheta,dtheta =12integralsin(2theta),dtheta =14l[-cos(2theta)r]
Avalia de pi/4 a pi/2:
integralpi/4^pi/2costhetasintheta,dtheta =12l[sin^2thetar]pi/4^pi/2 =12l(1-tfrac12r) =14
Multiplicando pelo fator tfracR^44 obtém-se
R^44cdot14 =R^416

Resposta

integral duplaDx,y,dx,dy = R^416

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