Determine se as séries seguintes convergem ou divergem:
sumn=3^infty 1n(ln n)[ln (ln n)]^p.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=3^infty 1n,ln n,l[ln(ln n)r]^p,
variando o parâmetro real p. O conteúdo principal aqui é o teste integral para séries de termo positivo, usando substituições para avaliar a integral correspondente.

Passo 2

Verificamos que a função
f(x)=1x,ln x,l[ln(ln x)r]^p
é positiva e decrescente para x>=3, pois x>1, ln x>0 e ln(ln x)>0 tornam o denominador crescente em x. Logo, podemos aplicar o teste integral, comparando a série à integral imprópria
integral3^infty f(x),dx =integral3^inftydxx,ln x,l[ln(ln x)r]^p

Passo 3

Para calcular
integral3^inftytfracdxx,ln x,(lnln x)^p,
fazemos a substituição
t=ln(ln x), dt=1x,ln x,dx
Quando x=3, t=ln(ln3); quando xtoinfty, ttoinfty. Assim a integral vira
integralln(ln3)^infty dtt^p

Passo 4

A integral
integralln(ln3)^infty t^-p,dt
é uma integral imprópria de potências, cuja convergência depende de p:
  • Se p>1, então integralln(ln3)^infty t^-p,dt =[t^1-p1-p]ln(ln3)^infty converge (pois 1-p<0).
  • Se p<=1, então a integral diverge (para p=1, diverge logaritmicamente; para p<1, por potência).

Passo 5

Pelo teste integral, a série
sumn=3^infty 1n,ln n,l[ln(ln n)r]^p
converge se e somente se a integral associada converge, ou seja, se p>1; diverge se p<=1.

Resposta

A série converge para p>1 e diverge para p<=1.

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