Determine se as séries seguintes convergem ou divergem:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
variando o parâmetro real
. O conteúdo principal aqui é o teste integral para séries de termo positivo, usando substituições para avaliar a integral correspondente.
Passo 2
Verificamos que a função
é positiva e decrescente para
, pois
,
e
tornam o denominador crescente em
. Logo, podemos aplicar o teste integral, comparando a série à integral imprópria
Passo 3
Para calcular
,
fazemos a substituição
fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim a integral vira
Passo 4
A integral
é uma integral imprópria de potências, cuja convergência depende de
:
- Se
, então converge (pois ). - Se
, então a integral diverge (para , diverge logaritmicamente; para , por potência).
Passo 5
Pelo teste integral, a série
converge se e somente se a integral associada converge, ou seja, se
; diverge se
.
Resposta
A série converge para
e diverge para
.